В последнее время конформные отображения верхней полуплоскости на односвязные области типа полуплоскости с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2π, с границей, состоящей из дуг окружностей, отрезков прямых и лучей, находят применение в задачах математической физики. В работе доказано, что конформные отображения верхней полуплоскости на такие области, обладающие дополнительным свойством симметрии относительно вертикальной прямой ω=π+iυ, υϵR, являются решением дифференциального уравнения третьего порядка типа уравнения Кристоффеля - Шварца для круговых многоугольников. Полученное уравнение зависит от значений углов при конечном количестве вершин, прообразов этих вершин, акцессорных параметров. Доказательство опирается на принцип симметрии Римана -Шварца и формулу Кристоффеля - Шварца для круговых многоугольников. Записана система их двух линейных алгебраических уравнений для акцессорных параметров. Для отображения на конкретный круговой счетноугольник с двойной симметрией записанное дифференциальное уравнение, эквивалентное уравнению класса Фукса с тремя особыми точками, сведено к уравнению Гаусса. Отображение представлено через гипергеометрические интегралы. Recently conformal mapping of the upper half-plane onto simply connected domains of the half-plane type with the symmetry of transfer along the real axis by 2π, with a boundary consisting of circular arcs, straight line segments and rays have been used in mathematical physics. In the paper it is proved that the conformal mapping of the upper half-plane onto such domain that has the additional property of symmetry with respect to the vertical straight ω=π+iυ, υϵR; is a solution of a differential equation of the third order of Christo®el-Schwarz equation type for circular polygons. The received equation depends on the values of the angles at the finite number of vertices, their counter images, the accessory parameters. The proof is based on the Riemann-Schwarz principle of symmetry and the Christoffel-Schwarz formula for circular polygons. The system of two linear algebraic equations for the accessory parameters has been written. For mapping onto the specific circular numerable-polygon with double symmetry, the di®erential equation, equivalent to the Fuchs class equation with three singular points, has been reduced to the Gauss equation. The map is represented in terms of hypergeometric integrals.

Рассматривается линейная система разностных уравнений, описывающих динамику кумулятивной суммы в задачах обнаружения кибератак. Доказывается существование, единственность и ряд свойств ограниченного решения. We consider the linear system of di®erence equations for the cumulative sum used in detecting network attacks. In the °ow of events each can be dangerous with the known probability, in this case the cumulative sum is increased to the certain amount. In the opposite case it is reduced. Suspicious events are not dangerous if rare, therefore the cumulative sum traces the relative amount of them. Reaching the threshold means the alarm situation, while hitting zero is the reset. The average number of events up to the alarm for the initial value of the cumulative sum is driven by the system of di®erence equations. We construct the solution, prove that it is unique (there is only one bounded solution), establish some properties of this solution. In particular, it is positive, piecewise constant and non-increasing. The used technique is similar to the sweeping method and the maximum principle widely used in mathematical physics. Solvability is established using the spectral theory. The proof of the existence theorem is constructive: the presented algorithm can be used for calculating the solution.

Пусть pϵ(1,2], n≥1, S⊆R n и Г(S,p)- множество всех тех функций, γ(t)ϵL p(R n), носитель преобразования Фурье которых лежит в S. В работе получены условия выполнения неравенства ||∫ E t γ(τ)dτ|| L ∞(R n)≤C||γ(τ)|| L p(R n), где t=(t 1, t 2,..., t n)ϵR n, E t = {τ|τ=(τ 1,τ 2,...,τ n)ϵR n, τ jϵ(t j≤0, 1≤j≤n}, γ(τ)ϵГ(S,p) и константа C не зависит от γ(τ). Также рассмотрены некоторые условия выполнения неравенства на нетривиальных подмножествах Г(S,p) в случаях, когда оно не выполняется на всем Г(S,p). Let pϵ(1; 2]; n≥1; S⊆R n; and Г(S; p)- the set of all functions, γ(t)ϵL p(R n); the support of the Fourier transform of which lies in S. We obtain the inequality conditions ||∫ E t γ(τ)dτ|| L ∞(R n)≤C||γ(τ)|| L p(R n), where t = (t 1; t 2;... ; t n)ϵR n; E t = {τ|τ=(τ 1,τ 2,...,τ n)ϵR n; τ jϵ[0; t j] if t j≥0; and τ jϵ(t j,0]; if t j≥0; 1≤j≤n}, γ(t)ϵГ(S; p) and constant C does not depend on γ(t). Also were considered some validity conditions on the inequality on non-trivial subsets Г(S; p) in cases, where they were not satisfied on the whole Г(S; p).

В классах локально-квазиконформных нормированных автоморфизмов f единичного круга Δ с заданной мажорантой характеристики М. А. Лаврентьева получены асимптотически точные оценки |f(z)|, родственные классическому неравенству А. Мори. The asymptotic sharp growth theorems are proved in the classes of normalized locally quasiconformal automorphisms of the unit disk with the given majorant of the Laurentev's characteristic. The main results are obtained by the means of the methods of extremal lengths, symmetrization and some new method of estimation of distortion of modules of double connected domains under the locally quasiconformal mappings.

Motivated by the recent work [1], in this paper we study the relations of generalized trigonometric and hyperbolic functions of two parameters with their inverse functions.

Пусть pϵ(1,2], n≥1, S⊆R n и Г(S,p)- множество всех тех функций, γ(t)ϵL p(R n), носитель преобразования Фурье которых лежит в S. В работе получены условия выполнения неравенства ||∫ E t γ(τ)dτ|| L ∞(R n)≤C||γ(τ)|| L p(R n), где t=(t 1, t 2,..., t n)ϵR n, E t = {τ|τ=(τ 1,τ 2,...,τ n)ϵR n, τ jϵ(t j≤0, 1≤j≤n}, γ(τ)ϵГ(S,p) и константа C не зависит от γ(τ). Также рассмотрены некоторые условия выполнения неравенства на нетривиальных подмножествах Г(S,p) в случаях, когда оно не выполняется на всем Г(S,p). Let pϵ(1; 2]; n≥1; S⊆R n; and Г(S; p)- the set of all functions, γ(t)ϵL p(R n); the support of the Fourier transform of which lies in S. We obtain the inequality conditions ||∫ E t γ(τ)dτ|| L ∞(R n)≤C||γ(τ)|| L p(R n), where t = (t 1; t 2;... ; t n)ϵR n; E t = {τ|τ=(τ 1,τ 2,...,τ n)ϵR n; τ jϵ[0; t j] if t j≥0; and τ jϵ(t j,0]; if t j≥0; 1≤j≤n}, γ(t)ϵГ(S; p) and constant C does not depend on γ(t). Also were considered some validity conditions on the inequality on non-trivial subsets Г(S; p) in cases, where they were not satisfied on the whole Г(S; p).